4.5 L'Hospital 法则

由 ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=0}$, ${\displaystyle x_0}$ 至多是 ${\displaystyle f(x),g(x)}$ 的可去间断点, 修复为

因此 ${\displaystyle \tilde{f}(x),\tilde{g}(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0}$ 处连续.
进而由 ${\displaystyle f(x),g(x)}$ 在 ${\displaystyle o({\hat{x}}_0,{\delta }_0)}$ 内可导, 得在 ${\displaystyle x\ne x_0}$ 时 ${\displaystyle \tilde{f}(x),\tilde{g}(x)}$ 在 ${\displaystyle x_0,x}$ 构成的闭区间上连续, 在 ${\displaystyle x_0,x}$ 构成的开区间上可导, 进而由 Cauchy中值定理, 存在 ${\displaystyle \xi }$ 在 ${\displaystyle x_0,x}$ 构成的开区间上, 使得

从而

结论得证.

令 ${\displaystyle x=\frac{1}{t}}$, 则

在 ${\displaystyle A\in \mathbb{R}}$ 时, 由 ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}=A}$ 可知

令 ${\displaystyle x_1=x_0-{\delta }_1}$, 在 ${\displaystyle [x,x_1]}$ 上, ${\displaystyle f(t),g(t)\in C[x,x_1]\cap D(x,x_1)}$, 由 Cauchy中值定理 知 ${\displaystyle \mathrm{\exists }\xi \in (x,x_1)}$:

由于 ${\displaystyle \underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{f(x_1)-Ag(x_1)}{g(x)}=0,\underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{g(x_1)}{g(x)}=0}$, 故 ${\displaystyle \mathrm{\exists }{\delta }_2({\delta }_2<{\delta }_1)>0,\mathrm{\forall }x\in (x_0-{\delta }_2,x_0)}$:

于是取 ${\displaystyle \delta ={\delta }_2>0}$, 则

即 ${\displaystyle \underset{x\to x_0^{-}}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=A}$. 同理 ${\displaystyle \underset{x\to x_0^{+}}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=A}$. 故 ${\displaystyle \underset{x\to x_0}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=A}$.
${\displaystyle A=\pm \mathrm{\infty }}$ 的情形同理可证.